Теорема Пифагора: формула, доказательство и задачи
Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника. Это одна из самых применяемых теорем в школьном курсе: через неё решают задачи на длины, расстояния и диагонали.
Формулировка
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².
Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, она всегда самая длинная. Катеты — две стороны, образующие прямой угол.
Важно: теорема работает только для прямоугольных треугольников. Для остальных есть теорема косинусов.
Как находить стороны
Гипотенуза известна не всегда, поэтому формулу переставляют:
Ищем гипотенузу: c = √(a² + b²) Ищем катет: a = √(c² − b²)
Пример: катеты 3 и 4. Гипотенуза = √(9 + 16) = √25 = 5. Пример: гипотенуза 13, катет 5. Второй катет = √(169 − 25) = √144 = 12.
Пифагоровы тройки
Наборы целых чисел, которые подходят под теорему, стоит выучить — они постоянно встречаются в задачах: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
Кратные им тоже работают: (6, 8, 10) — это тройка (3, 4, 5), умноженная на 2.
Обратная теорема
Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный. Так проверяют вид треугольника по трём сторонам.
Пример: стороны 6, 8, 10. Проверяем: 36 + 64 = 100 = 10². Значит, треугольник прямоугольный.
Где обычно ошибаются
• Путают гипотенузу с катетом и складывают не то. Гипотенуза всегда напротив прямого угла. • Забывают извлечь корень и оставляют в ответе квадрат стороны. • Применяют теорему к непрямоугольному треугольнику.
Частые вопросы
Как понять, какая сторона гипотенуза?
Найдите прямой угол — сторона напротив него и есть гипотенуза. На чертеже прямой угол отмечают квадратиком.
Работает ли теорема в объёме?
Есть пространственный аналог: диагональ прямоугольного параллелепипеда d = √(a² + b² + c²). Он выводится двойным применением обычной теоремы Пифагора.