Логарифмы: определение, свойства и как решать уравнения
Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить данное число. Всё остальное — следствия из этого определения.
Определение
log_a b = c означает, что a^c = b.
log_2 8 = 3, потому что 2³ = 8 log_10 100 = 2, потому что 10² = 100 log_5 1 = 0, потому что 5⁰ = 1
Основание a должно быть положительным и не равным 1, число b — строго положительным.
Основные свойства
log_a (x · y) = log_a x + log_a y log_a (x / y) = log_a x − log_a y log_a xⁿ = n · log_a x log_a a = 1 log_a 1 = 0 a^(log_a x) = x — основное логарифмическое тождество
Переход к новому основанию: log_a b = log_c b / log_c a
Решение уравнений
Простейшее: log_a x = c → x = a^c
Пример: log_3 x = 4 → x = 3⁴ = 81
Если логарифмы с одинаковым основанием с обеих сторон, их можно убрать: log_2 (x + 1) = log_2 7 → x + 1 = 7 → x = 6
Обязательно проверяйте область допустимых значений: под логарифмом должно быть положительное число.
Где обычно ошибаются
• Пишут log(x + y) = log x + log y. Это неверно: свойство работает только для произведения, а не для суммы. • Забывают про ОДЗ и получают посторонние корни. • Путают log_a b и log_b a — это разные величины.
Частые вопросы
Что такое ln?
Натуральный логарифм — логарифм по основанию e ≈ 2,718. ln x = log_e x.
Может ли логарифм быть отрицательным?
Значение логарифма — да, может. Например, log_2 0,5 = −1. А вот число под знаком логарифма должно быть положительным.