Формулы сокращённого умножения с примерами
Формулы сокращённого умножения позволяют раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители в одно действие. Их учат наизусть, потому что они встречаются в каждой второй задаче по алгебре.
Основные формулы
Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b² Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b² Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b)
Куб суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Куб разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
Сумма кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) Разность кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Как применять в обе стороны
Формулы работают в двух направлениях. Слева направо — раскрываем скобки. Справа налево — раскладываем на множители.
Раскрыть: (x + 3)² = x² + 6x + 9 Разложить: x² − 16 = (x − 4)(x + 4)
Второе направление важнее: именно так сокращают дроби и решают уравнения.
Как быстро считать в уме
Формулы удобны для устного счёта.
51² = (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801 37 · 43 = (40 − 3)(40 + 3) = 1600 − 9 = 1591
Где обычно ошибаются
• Пишут (a + b)² = a² + b², забывая удвоенное произведение. Это самая частая ошибка в алгебре. • Путают знаки в сумме и разности кубов: в скобке знак меняется на противоположный. • Пытаются разложить сумму квадратов a² + b² — на множители она не раскладывается.
Частые вопросы
Раскладывается ли a² + b² на множители?
В школьном курсе — нет. Сумма квадратов не раскладывается на действительные множители, в отличие от разности квадратов.
Как не путать знаки в сумме и разности кубов?
Запомните правило: в первой скобке знак такой же, как в исходном выражении, во второй — противоположный, а последний знак всегда плюс.