Модуль числа: определение и уравнения с модулем
Модуль числа — это расстояние от нуля до этого числа на прямой. Расстояние не бывает отрицательным, отсюда все свойства.
Определение
|a| = a, если a ≥ 0 |a| = −a, если a < 0
|5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0
Минус перед a во втором случае не делает результат отрицательным: если a = −5, то −a = 5.
Свойства
|a| ≥ 0 всегда |−a| = |a| |a · b| = |a| · |b| |a / b| = |a| / |b| |a|² = a² √(a²) = |a|
Уравнения с модулем
|x| = 5 → x = 5 или x = −5 |x| = −3 → решений нет, модуль не бывает отрицательным |x| = 0 → x = 0
|x − 3| = 4 раскрываем на два случая: x − 3 = 4 → x = 7 x − 3 = −4 → x = −1
Неравенства с модулем
|x| < a (при a > 0) → −a < x < a — промежуток между |x| > a (при a > 0) → x < −a или x > a — два луча
Пример: |x| < 3 → x от −3 до 3 Пример: |x| > 2 → x < −2 или x > 2
Частые вопросы
Что означает модуль геометрически?
Расстояние от точки до нуля на числовой прямой. |x − 3| — расстояние от x до 3.