Производная: таблица, правила и как считать
Производная показывает скорость изменения функции. На практике вычисление производной сводится к таблице и четырём правилам — их достаточно для всех школьных задач.
Таблица производных
(C)′ = 0 — производная константы равна нулю (x)′ = 1 (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ (√x)′ = 1 / (2√x) (eˣ)′ = eˣ (aˣ)′ = aˣ · ln a (ln x)′ = 1/x (sin x)′ = cos x (cos x)′ = −sin x (tg x)′ = 1 / cos²x
Правила дифференцирования
Сумма: (u + v)′ = u′ + v′ Константа выносится: (C · u)′ = C · u′ Произведение: (u · v)′ = u′v + uv′ Частное: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v² Сложная функция: (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Примеры
y = 3x⁴ − 2x + 7 y′ = 12x³ − 2 (производная константы 7 равна нулю)
y = x² · sin x y′ = 2x · sin x + x² · cos x (правило произведения)
y = sin(3x) y′ = cos(3x) · 3 = 3cos(3x) (сложная функция: внешняя sin, внутренняя 3x)
Зачем нужна производная
В школьных задачах производную используют, чтобы: • найти точки максимума и минимума функции (там, где производная равна нулю и меняет знак) • определить промежутки возрастания и убывания (производная положительна — функция растёт) • составить уравнение касательной к графику • найти скорость и ускорение в физических задачах
Где обычно ошибаются
• Забывают домножить на производную внутренней функции в сложной функции. • Применяют к произведению правило «производная произведения равна произведению производных» — это неверно. • Путают знак в производной косинуса: (cos x)′ = −sin x, минус обязателен.
Частые вопросы
Как понять, что функция сложная?
Если под знаком функции стоит не просто x, а выражение — функция сложная. sin x — простая, sin(2x + 1) — сложная.
Производная равна нулю — это всегда максимум или минимум?
Не всегда. Это критическая точка, но она может быть и точкой перегиба. Нужно проверить, меняет ли производная знак при переходе через неё.