Системы уравнений: метод подстановки и метод сложения
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти общее решение. Идея любого метода одна: избавиться от одной переменной.
Метод подстановки
1. Из одного уравнения выражаем одну переменную через другую. 2. Подставляем во второе уравнение. 3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. 4. Находим вторую переменную.
Пример: x + y = 10 2x − y = 5
Из первого: y = 10 − x Подставляем: 2x − (10 − x) = 5 → 3x = 15 → x = 5 Тогда y = 10 − 5 = 5
Метод сложения
Складываем или вычитаем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла.
Пример: x + y = 10 2x − y = 5
Складываем: 3x = 15 → x = 5 Подставляем в первое: 5 + y = 10 → y = 5
Если коэффициенты не сокращаются сразу, умножьте уравнение на число.
Какой метод выбрать
Подстановка удобна, когда переменная уже выражена или легко выражается (коэффициент 1).
Сложение удобно, когда коэффициенты при одной переменной противоположны или легко приводятся к противоположным.
Оба дают одинаковый ответ — выбирайте тот, где меньше вычислений.
Сколько решений бывает
Одно решение — прямые пересекаются в одной точке. Бесконечно много — уравнения задают одну и ту же прямую. Нет решений — прямые параллельны, получается противоречие вида 0 = 5.
Частые вопросы
Как проверить, что система решена верно?
Подставьте найденные значения в оба исходных уравнения. Оба должны стать верными равенствами.