Тригонометрия: синус, косинус, тангенс — основные формулы
Тригонометрия начинается с прямоугольного треугольника, а потом переносится на единичную окружность. Формул много, но большинство выводится из двух-трёх.
Определения в прямоугольном треугольнике
sin α = противолежащий катет / гипотенуза cos α = прилежащий катет / гипотенуза tg α = противолежащий / прилежащий = sin α / cos α ctg α = прилежащий / противолежащий = cos α / sin α
Основные тождества
sin²α + cos²α = 1 — главное тождество, следует из теоремы Пифагора tg α · ctg α = 1 1 + tg²α = 1 / cos²α 1 + ctg²α = 1 / sin²α
Из первого сразу: sin α = ±√(1 − cos²α)
Таблица значений
Угол: 0° 30° 45° 60° 90° sin: 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cos: 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tg: 0 √3/3 1 √3 нет
Приём для запоминания синуса: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Косинус — та же строка задом наперёд.
Формулы двойного угла и суммы
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Обратите внимание на знаки в косинусе: они меняются на противоположные.
Частые вопросы
Как запомнить знаки по четвертям?
В первой четверти всё положительно, во второй только синус, в третьей тангенс и котангенс, в четвёртой косинус.