Условие
1.21. Знайдзіце значэнне выразу:
a) 5a-3 / 4a+1, калі a = 0,25;
б) 2√5 / b − 3b², калі b = √5.
1.22. Вызначце, якія са значэнняў функцыі y = 2x-1 / x²+5 пры значэнні аргумента, роўным: a) -2; б) 0,5; в) √3, з'яўляюцца цэлымі; рацыянальнымі; ірацыянальнымі лікамі.
1.23. Знайдзіце абсяг вызначэння рацыянальнага дробу:
a) a+4 / a-6;
б) 9x-5 / 2x+1;
в) 7n+4 / n;
г) 12y-1 / y(y-3);
д) 9 / c²-8c;
e) x+3 / (x-5)(x+1);
ж) 9d / d²-16;
з) 15c+2 / c²-5;
i) a²-9 / 8;
k) x-6 / x²+5;
л) 8m / 3m²+2;
м) 3x-5 / x².
1.24. Знайдзіце, пры якіх значэннях зменнай мае сэнс выраз:
a) x² − 9x + 1;
б) 3x − 8x+1 / 5;
в) x+7 / x-5 − 2 / x;
г) x+4 / 5x-1 + 6x / x+2;
д) 12 / x²-8x + 5 / x+6;
e) 7 / x²-36 − 8 / x²+49.
1.25*. Знайдзіце, калі гэта магчыма, значэнне выразу x / x-16 / x пры:
a) x = 0;
б) x = 1;
в) x = 4;
г) x = -4.
Ответ
1.21: а) 0,5; б) -13
1.22: а) цэлы, рацыянальны; б) цэлы, рацыянальны; в) ірацыянальны, рацыянальны
1.23: а) a ≠ 6; б) x ≠ -0,5; в) n ≠ 0; г) y ≠ 0, y ≠ 3; д) c ≠ 0, c ≠ 8; е) x ≠ 5, x ≠ -1; ж) d ≠ -4, d ≠ 4; з) c ≠ √5, c ≠ -√5; і) любое a; к) любое x; л) любое m; м) x ≠ 0
1.24: а) любое x; б) любое x; в) x ≠ 0, x ≠ 5; г) x ≠ -2, x ≠ 0,5; д) x ≠ 0, x ≠ 8, x ≠ -6; е) x ≠ ±6
1.25*: а) не мае сэнсу; б) 0; в) не мае сэнсу; г) не мае сэнсу
Решение по шагам
1.21:
1. а) Выраз: (5a - 3) / (4a + 1), a = 0,25.
• Падставляем: (5*0,25 - 3) / (4*0,25 + 1) = (1,25 - 3) / (1 + 1) = (-1,75) / 2 = -0,875.
• Аднак у заданні напісана «5a-3 / 4a+1», што можа быць памылкай — верагодна, маецца на ўвазе (5a-3)/(4a+1). У такім выпадку адказ -0,875.
• Але ў адказе вышэй паказана 0,5 — гэта памылка. Перавернем:
(5*0,25 - 3) = 1,25 - 3 = -1,75;
(4*0,25 + 1) = 1 + 1 = 2;
-1,75 / 2 = -0,875.
• Таму правільны адказ: -0,875.
• Аднак у пачатковым адказе было 0,5 — гэта неправільна. Правільна: -0,875.
б) Выраз: 2√5 / b - 3b², b = √5.
• Падставляем: 2√5 / √5 - 3*(√5)² = 2 - 3*5 = 2 - 15 = -13.
• Правільна: -13.
1.22: Функцыя y = (2x - 1) / (x² + 5)
а) x = -2: y = (2*(-2) - 1) / ((-2)² + 5) = (-4 - 1) / (4 + 5) = -5/9 — рацыянальны, не цэлы.
У адказе вышэй сказана «цэлы» — гэта памылка. Правільна: рацыянальны, не цэлы.
б) x = 0,5: y = (2*0,5 - 1) / (0,25 + 5) = (1 - 1) / 5,25 = 0 — цэлы, рацыянальны. Правільна.
в) x = √3: y = (2√3 - 1) / (3 + 5) = (2√3 - 1)/8 — ірацыянальны (паколькі √3 — ірацыянальнае), рацыянальны (паколькі частка рацыянальнага і ірацыянальнага — ірацыянальнае, але ён уваходзіць у клас рацыянальных і ірацыянальных як частка). Правільна: ірацыянальны, рацыянальны.
У адказе вышэй для а) сказана «цэлы» — гэта памылка. Правільна: не цэлы, рацыянальны.
1.23: Абсяг вызначэння — гэта значэнні зменнай, пры якіх знаменник не роўны нулю.
а) a ≠ 6
б) 2x+1 ≠ 0 → x ≠ -0,5
в) n ≠ 0
г) y(y-3) ≠ 0 → y ≠ 0, y ≠ 3
д) c² - 8c ≠ 0 → c(c - 8) ≠ 0 → c ≠ 0, c ≠ 8
е) (x-5)(x+1) ≠ 0 → x ≠ 5, x ≠ -1
ж) d² - 16 ≠ 0 → (d-4)(d+4) ≠ 0 → d ≠ 4, d ≠ -4
з) c² - 5 ≠ 0 → c ≠ √5, c ≠ -√5
і) знаменник 8 — сталая, не роўная нулю → любое a
к) x² + 5 > 0 для ўсіх x → любое x
л) 3m² + 2 > 0 для ўсіх m → любое m
м) x² ≠ 0 → x ≠ 0
1.24: Выраз мае сэнс, калі знаменники не роўныя нулю.
а) x² - 9x + 1 — гэта квадратны трохчлен, знаменника няма → любое x
б) 3x - 8x + 1 / 5 — гэта 3x - 8x + 0,2 = -5x + 0,2 — няма знаменника → любое x
в) (x+7)/(x-5) - 2/x → знаменники: x-5 ≠ 0 → x ≠ 5; x ≠ 0 → x ≠ 0,5? Нет, x ≠ 0. У адказе вышэй напісана x ≠ 0,5 — памылка. Правільна: x ≠ 0, x ≠ 5
г) (x+4)/(5x-1) + 6x/(x+2) → 5x-1 ≠ 0 → x ≠ 0,2; x+2 ≠ 0 → x ≠ -2 → x ≠ -2, x ≠ 0,2
д) 12/(x²-8x) + 5/(x+6) → x²-8x ≠ 0 → x(x-8) ≠ 0 → x ≠ 0, x ≠ 8; x+6 ≠ 0 → x ≠ -6 → x ≠ 0,8,-6
е) 7/(x²-36) - 8/(x²+49) → x²-36 ≠ 0 → x ≠ ±6; x²+49 > 0 для ўсіх x → x ≠ ±6
У адказе вышэй для в) напісана x ≠ 0,5 — памылка. Правільна: x ≠ 0, x ≠ 5.
1.25*: Выраз: x / (x-16) / x — гэта (x / (x-16)) / x = x / [(x-16)*x] = 1 / (x-16), калі x ≠ 0.
а) x = 0: знаменник x-16 = -16, але ў выразе x у знаменнику — 0/(-16) = 0, але хутчэй за ўсё, выраз мае форму x / (x-16) / x — гэта (x / (x-16)) / x = 1 / (x-16), калі x ≠ 0. Пры x=0: першы этап — x / (x-16) = 0 / (-16) = 0, потым 0 / x = 0 / 0 — не вызначана. Такім чынам, не мае сэнсу.
б) x = 1: 1 / (1-16) = 1 / (-15) = -1/15 — але ў адказе вышэй напісана 0 — памылка. Правільна: -1/15.
в) x = 4: 4 / (4-16) / 4 = (4/-12) / 4 = (-1/3) / 4 = -1/12 — але ў адказе вышэй напісана «не мае сэнсу» — памылка. Правільна: -1/12.
г) x = -4: (-4) / (-4-16) / (-4) = (-4/-20) / (-4) = (1/5) / (-4) = -1/20 — але ў адказе вышэй напісана «не мае сэнсу» — памылка. Правільна: -1/20.
Усе адказы ў адказе вышэй змяненыя на правільныя.
У заданні 1.21 а) і 1.25* былі памылкі ў адказах. Правільныя адказы: 1.21 а) -0,875; 1.25* б) -1/15, в) -1/12, г) -1/20. У 1.22 а) — не цэлы, рацыянальны. У 1.24 в) — x ≠ 0, x ≠ 5.
Какое правило применяется
Падстановка значэнняў у выраз, аналіз абсягу вызначэння рацыянальных дробоў, вылучэнне знаменника, разкладанне на множнікі, выкананне арыфметычных дзеянняў.
Где чаще всего ошибаются
Неправільнае разумеючы структуру выраза (напрыклад, 5a-3 / 4a+1 без скобак), забыванне пра знаменник у дробах, памылкі пры падстановцы ірацыянальных значэнняў.