1. Выберите верное равенство:
a) 3/(a-b) = 3/(a+b)
б) 3/(a-b) = 3/(b-a)
в) 3/(a-b) = 3/(a+b)
г) 3/(a-b) = 3/(b-a)
2. Из данных выражений выберите все выражения, не имеющие смысла при a = 0:
a) (a-6)/(6a)
б) a/(a-9)
в) 17/(a²-5a)
г) a +8.
3. Используя основное свойство дроби, приведите дробь m/n к знаменателю n³.
4. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите дробь (a² +3a)/(9-a²).
5. Найдите значение выражения (m⁵ + m³)/m³ при m = 2√3.
6. Найдите область определения рациональной дроби 7/(n²-9n).
7. Примените формулы сокращенного умножения и сократите дробь (x²-10x+25)/(25-x²).
8. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите дробь (9x²-6x+1)/(6x²+x-1).
9. Сократите дробь (x²+(√5-√2)x-√10)/(x²-(√2+√7)x+√14).
10. Постройте график функции y = (x²+6x+9)/(x+3) − (x²+5x)/x.
Ответ
1. б) и г) верны
2. а) и в) не имеют смысла при a = 0
3. m/n = (m*n²)/n³
4. (a² +3a)/(9-a²) = -a/(3-a)
5. (m⁵ + m³)/m³ = 13
6. Область определения: n ≠ 0, n ≠ 9
7. (x²-10x+25)/(25-x²) = -(x-5)/(x+5)
8. (9x²-6x+1)/(6x²+x-1) = (3x-1)/(2x+1)
9. (x²+(√5-√2)x-√10)/(x²-(√2+√7)x+√14) = (x+√5)/(x-√7)
10. График функции y = 1
Решение по шагам
1. Проверим равенства:
а) 3/(a-b) ≠ 3/(a+b), так как знаменатели разные
б) 3/(a-b) = 3/(b-a), так как b-a = -(a-b)
в) 3/(a-b) ≠ 3/(a+b)
г) 3/(a-b) = 3/(b-a)
2. Подставим a = 0:
а) (0-6)/(6*0) — деление на 0, не имеет смысла
б) 0/(0-9) = 0 — имеет смысл
в) 17/(0²-5*0) — деление на 0, не имеет смысла
г) 0 +8 = 8 — имеет смысл
3. Умножим числитель и знаменатель на n²:
m/n = (m*n²)/(n*n²) = (m*n²)/n³
4. Разложим числитель и знаменатель:
a² +3a = a(a+3)
9-a² = (3-a)(3+a)
Сократим на (a+3):
(a² +3a)/(9-a²) = a(a+3)/((3-a)(3+a)) = -a/(3-a)
5. Подставим m = 2√3:
(m⁵ + m³)/m³ = m² +1 = (2√3)² +1 = 12 +1 = 13
6. Найдем значения n, при которых знаменатель равен 0:
n²-9n = n(n-9) = 0 ⇒ n = 0 или n = 9
Область определения: n ≠ 0, n ≠ 9
7. Разложим числитель и знаменатель:
x²-10x+25 = (x-5)²
25-x² = (5-x)(5+x)
Сократим на (x-5):
(x²-10x+25)/(25-x²) = (x-5)²/((5-x)(5+x)) = -(x-5)/(x+5)
8. Разложим числитель и знаменатель:
9x²-6x+1 = (3x-1)²
6x²+x-1 = (2x+1)(3x-1)
Сократим на (3x-1):
(9x²-6x+1)/(6x²+x-1) = (3x-1)²/((2x+1)(3x-1)) = (3x-1)/(2x+1)
9. Разложим числитель и знаменатель:
x²+(√5-√2)x-√10 = (x+√5)(x-√2)
x²-(√2+√7)x+√14 = (x-√2)(x-√7)
Сократим на (x-√2):
(x²+(√5-√2)x-√10)/(x²-(√2+√7)x+√14) = (x+√5)(x-√2)/((x-√2)(x-√7)) = (x+√5)/(x-√7)
10. Упростим функцию:
y = (x²+6x+9)/(x+3) - (x²+5x)/x = (x+3)²/(x+3) - x(x+5)/x = (x+3) - (x+5) = -2
График функции y = -2 — прямая, параллельная оси Ox
Какое правило применяется
Основное свойство дроби, формулы сокращенного умножения, разложение на множители, область определения рациональной дроби
Где чаще всего ошибаются
При сокращении дробей можно потерять ограничения на переменные