1) 2x/(x² − 25) + (4-x)/(x-5) = 0
Условие
1) 2x/(x² − 25) + (4-x)/(x-5) = 0
Ответ
x = -4
Решение по шагам
1. Найдём общий знаменатель для дробей. Знаменатель первой дроби: x² - 25 = (x - 5)(x + 5). Знаменатель второй дроби: x - 5. Общий знаменатель: (x - 5)(x + 5).
2. Преобразуем вторую дробь, умножив числитель и знаменатель на (x + 5):
(4 - x)/(x - 5) = ((4 - x)(x + 5))/((x - 5)(x + 5))
3. Теперь уравнение:
(2x)/((x - 5)(x + 5)) + ((4 - x)(x + 5))/((x - 5)(x + 5)) = 0
4. Сложим дроби:
(2x + (4 - x)(x + 5))/((x - 5)(x + 5)) = 0
5. Упростим числитель:
2x + (4 - x)(x + 5) = 2x + 4x + 20 - x² - 5x = -x² + x + 20
Подробнее: (4 - x)(x + 5) = 4 · x + 4 · 5 - x · x - x · 5 = 4x + 20 - x² - 5x = -x² - x + 20. Тогда:
2x + (-x² - x + 20) = -x² + (2x - x) + 20 = -x² + x + 20
6. Уравнение принимает вид:
(-x² + x + 20)/((x - 5)(x + 5)) = 0
7. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
-x² + x + 20 = 0 или x² - x - 20 = 0
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-1)² - 4 · 1 · (-20) = 1 + 80 = 81. Корни:
x = (1 ± √81)/(2) = (1 ± 9)/(2)
x₁ = (1 + 9)/(2) = 5, x₂ = (1 - 9)/(2) = -4
9. Проверим корни:
• При x = 5: знаменатель x² - 25 = 25 - 25 = 0 — недопустимо.
• При x = -4: знаменатель (-4)² - 25 = 16 - 25 = -9 ≠ 0 — допустимо.
10. Ответ: x = -4
Какое правило применяется
Приведение к общему знаменателю и решение квадратного уравнения
Где чаще всего ошибаются
Забыть проверить корни на допустимость (чтобы знаменатель не обращался в ноль) или ошибка в упрощении числителя